Matematicas

El otro día en clase, comenzamos a dar materia y dimos la regla de l´Hôpital. Si quereis saber mas entrar en esta página de Wikipedia.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ o ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto,
${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}=L}$

Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos de tipo ${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$ más delicados.
Como ${\displaystyle g(c)=0}$ y ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ si ${\displaystyle x=c}$, se tiene que ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ si ${\displaystyle x\neq c}$ como consecuencia del Teorema de Rolle.

• Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe t_x en el intervalo de extremos a y b, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\cfrac {f(x)}{g(x)}}={\cfrac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}={\cfrac {f'(t_{x})}{g'(t_{x})}}}$

• Cuando x tiende hacia c, igualando los valores de las igualdades de arriba, t_x también tiende hacia c, así que:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\cfrac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\cfrac {f'(t_{x})}{g'(t_{x})}}=L}$

Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa.